نقطة تقاطع متوسطات المثلث

نقطة تقاطع متوسطات المثلث

في المثلث ، القطعة المستقيمة التي تصل الرأس ونقطة المنتصف في الضلع المقابل تسمى أ الوسيط.

 LO¯¯¯¯¯¯¯ هو الوسيط من L إلى نقطة المنتصف NM¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯.

إذا قمت برسم المتوسطات الثلاثة فسوف تتقاطع عند نقطة واحدة تسمى النقطه الوسطى.

النقطه الوسطى هي “نقطة التوازن” للمثلث. هذا يعني أنه إذا كنت ستقطع المثلث ، فإن النقطه الوسطى هي مركز ثقله حتى تتمكن من موازنته هناك.

و متوسط نظرية تنص على أن الوساطات من مثلث تتقاطع في نقطة تسمى النقطه الوسطى التي هي ثلثي المسافة من القمم إلى نقطة الوسط من الجانبين عكس ذلك.

حتى إذا G هي النقطه الوسطى ، ثم:

AGDGAnd by substitution:DG=23AD, CG=23CF, EG=23BE=13AD, FG=13CF, BG=13BE=12AG, FG=12CG, BG=12EG

ماذا لو قيل لك ذلك Jو K، و L كانت نقاط المنتصف من جانبي △FGH وذلك M كان النقطه الوسطى من △FGH؟ نظرا لطولJK، كيف يمكنك إيجاد أطوال JM و KM؟

أمثلة

مثال 1

B, D، و F هي نقاط المنتصف لكل جانب و Gهي النقطه الوسطى. إذاCG=16، تجد GF و CF.

استخدم نظرية الوسيط.

CG16CF=23CF=23CF=24.

لذلك، GF=8.

مثال 2

صح أم خطأ: يشطر الوسيط الجانب الذي يتقاطع فيه.

هذا البيان صحيح. بحكم التعريف ، يتقاطع الوسيط مع أحد جوانب المثلث عند منتصفه. تقسم نقاط المنتصف الأجزاء إلى جزأين متساويين.

مثال 3

I, K، و M هي نقاط المنتصف على جانبي △HJL.

إذا JM=18، تجد JN و NM. إذاHN=14، تجد NK و HK.

استخدم نظرية الوسيط.

JN=23⋅18=12. NM=JM−JN=18−12. NM=6.

14=23⋅HK

14⋅32=HK=21. NK هو ثلث 21 NK=7.

مثال 4

H هي النقطه الوسطى من △ABC و DC=5y−16. تجدx و y.

لحل هذه المشكلة ، استخدم نظرية الوسيط. قم بإعداد وحل المعادلات.

12BH=HF3x+63x+68⟶BH=2HF=2(2x−1)=4x−2=xHC=23DC⟶32HC=DC 32(2y+8)=5y−16 3y+12=5y−16  28=2y⟶14=y

مثال 5

B, D، و F هي نقاط المنتصف لكل جانب و Gهي النقطه الوسطى. إذاBG=5، تجد GE و BE

استخدم نظرية الوسيط.

BG5BE=13BE=13BE=15.

لذلك، GE=10.

إعادة النظر

للأسئلة 1-4 ، B, D، و F هي نقاط المنتصف لكل جانب و Gهي النقطه الوسطى. أوجد الأطوال التالية.

  1. إذا CG=16، تجد GF و CF
  2. إذا AD=30، تجد AG و GD
  3. إذا GF=x، تجد GC و CF
  4. إذا AG=9x و GD=5x−1، تجد x و AD.

مسائل متعددة الخطوات أوجد معادلة الوسيط فيx−y طائرة.

  1. قطعة △ABC: A(−6,4), B(−2,4) و C(6,−4)
  2. أوجد نقطة المنتصف لـ AC¯¯¯¯¯¯¯¯. قم بتسمية ذلكD.
  3. العثور على المنحدر منBD¯¯¯¯¯¯¯¯.
  4. أوجد معادلة BD¯¯¯¯¯¯¯¯.
  5. قطعة △DEF: D(−1,5), E(1,0), F(6,3)
  6. أوجد نقطة المنتصف لـ EF¯¯¯¯¯¯¯¯. قم بتسمية ذلكG.
  7. العثور على المنحدر منDG¯¯¯¯¯¯¯¯.
  8. أوجد معادلة DG¯¯¯¯¯¯¯¯.

حدد ما إذا كانت العبارة التالية صحيحة أم خاطئة.

  1. النقطه الوسطى هي نقطة التوازن للمثلث.

مراجعة (الإجابات)

لمشاهدة إجابات المراجعة ، افتح ملف PDF وابحث عن القسم 5.4. 

موارد